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En matemáticas, dos variables están relacionadas cuando el cambio en una de ellas provoca un cambio en la otra. Se dice que una relación es proporcional cuando se produce a un ratio constante, ratio que se conoce como factor, constante o coeficiente de proporcionalidad.

Dos variables tienen una relación inversamente proporcional cuando el aumento de una variable provoca la disminución de la otra o, de forma análoga, el descenso en una provoca el aumento de la otra. La relación inversamente proporcional también se conoce como relación inversa, proporción inversa o proporción recíproca.

Dadas dos variables, x e y, con una relación inversamente proporcional, el producto de ambas es siempre constante e igual al coeficiente de proporcionalidad:

Coeficiente de proporcionalidad inversa

Donde k es el coeficiente de proporcionalidad.

Esto significa que conociendo el valor del coeficiente de proporcionalidad y el valor de una variable, se puede conocer el valor de la otra variable a través del cociente entre el coeficiente de proporcionalidad y el valor de la variable conocida:

Relación proporcional inversa

La notación de la relación proporcional entre dos variables se suele expresar con en el símbolo (no confundir con ∞, el símbolo de infinito), la relación inversamente proporcional se representa como y ∝ 1/x.

Si x está elevada a una potencia, por ejemplo al cuadrado, entonces se dice que y es inversamente proporcional al cuadrado de x; de mismo modo, se puede decir que y es inversamente proporcional al cubo de x si x está elevado al cubo o potencia 3.

Relación inversa de una potencia

n puede ser cualquier potencia. Por ejemplo, 1/2 o raíz cuadrada:

Relación inversa raíz cuadrada

La dirección opuesta de cada variable se puede observar claramente en un gráfico que represente los valores de x e y. Por ejemplo, si tenemos dos variables con relación proporcional inversa y el coeficiente de proporcionalidad es 50, es decir, y ∝ 1/x; k = 50, se obtendría la siguiente gráfica:

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Gráfico de una relación proporcional inversa

Fíjate como al aumentar el valor de x, el valor de y disminuye.

Ejemplo 1

Enunciado: y es inversamente proporcional a x, si y = 3 y x = 12, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Tenemos que y ∝ 1/x, entonces y = k/x. Si despejamos tenemos que k = xy. Sustituyendo los valores de x e y:

k = 12 × 3 = 36

Ahora que ya conocemos la constante de proporcionalidad, k = 36, conociendo el valor de x o de y se puede conocer el valor de la otra variable.

Enunciado: tomando la relación anterior, si x = 4.5, ¿cuál es el valor de y?

Tenemos que x = 4.5 y k = 36 (calculado anteriormente), por tanto:

4.5y = 36

luego:

y = 36/4.5 = 8

Ejemplo 2

Enunciado: Si v es inversamente proporcional a r3, cuando r = 2 y v = 25. ¿cuánto es r para v = 60?

Primero tenemos que encontrar la constante de proporcionalidad inversa.

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k = vr3

k = 25 × 23 = 25 × 8 = 200

luego k = 200

Cuando v es igual a 60, tendremos que

200 = 60 × r3

Entonces:

r3 = 200/60 = 3.333

Despejando r, llegamos a que r es la raíz cúbica de 3.333, luego:

r = 1.494

Relación directamente proporcional

La relación directamente proporcional, al igual que la inversamente proporcional, se caracteriza por tener dos variables relacionadas a través de un coeficiente de proporcionalidad constante. A diferencia de la proporción inversa, en la proporción directa el valor de una variable es el producto del coeficiente de proporcionalidad por el valor de la otra variable (en la relación inversa era un cociente).

Es decir, en la relación directamente proporcional:

Relación directamente proporcional

En lugar de y = k/x que teníamos en la relación inversamente proporcional. De aquí se deduce que el valor del coeficiente de proporcionalidad es:

  • k = y/x para la relación directamente proporcional
  • k = yx para la relación inversamente proporcional

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