Se suele decir que dos vectores, o más correctamente dos magnitudes vectoriales, no se pueden dividir entre sí, pero en realidad es una operación que en teoría se podría realizar pero que no se puede definir en determinados espacios vectoriales, mientras que está perfectamente definida en otros espacios.
Cuando se dice que dos vectores no se pueden dividir entre sí, generalmente se refiere a vectores en espacios de dos (R2) o tres dimensiones (R3), y es que en estos espacios un vector puede ser resultado de la multiplicación de infinidad de vectores, por lo que no se puede definir una operación inversa, ya que esta tendría infinitos resultados válidos.
En otras palabras, no es posible conocer el resultado de una multiplicación vectorial y calcular los vectores iniciales mediante una división como se hace normalmente con la multiplicación y división.
La multiplicación y la división se suelen definir como operaciones inversas. Por ejemplo, si tenemos que:
ab = c
Y conocemos a y conocemos c, podemos calcular b como:
b = c/a
Sin embargo, en los espacios R2, R3 y otros, existen infinidad de vectores b que satisfacen ab = c; por tanto c/a queda indefinido. La división entre esos dos vectores no tiene una definición exacta sino infinitas posibilidades.
Del mismo modo, si tenemos esta ecuación vectorial:
ac = bc
No se podría concluir que el vector a es igual al vector b, ya que a = b sería solo una posible solución
Pero hay que tener en cuenta que esta limitación aparece en vectores definidos en determinados espacios. En general, cualquier elemento de un espacio es un vector y existen muchos espacios donde los vectores pueden ser divididos. Por ejemplo, un número real sería un vector del espacio R y los números reales se pueden dividir entre sí.
También se podría realizar la división entre vectores si se ha definido la multiplicación de forma que permita la operación inversa. Pero esto ya son temas mucho más profundos.