Los números primos y los números compuestos son dos tipos de números naturales. Es decir, son números enteros positivos que se pueden utilizar para contar los elementos de un determinado conjunto (1, 2, 3, 4, 5, … ).
Los números primos solo tienen como divisor el 1 y él mismo, por lo que solo tienen 2 divisores, a diferencia de los números compuestos que tienen más de 2 divisores.
A continuación vamos a definir de forma más exacta qué es un número primo y qué es un número compuesto, veremos algunos ejemplos y propiedades, y aprenderemos a distinguir si un número es primo o es compuesto.
Índice de contenido
Definición de número primo y ejemplos
Un número primo se define como un número natural mayor de 1 que no se puede obtener como producto de otros dos números naturales, solo como múltiplo de él mismo y 1.
Dicho de otro modo, un número primo es un número natural mayor de 1 que solo tiene dos divisores: el propio número y el 1. Un número primo tiene exactamente esos dos divisores, ni más ni menos.
Por ejemplo, el número 2 es un número primo porque solo es divisible entre 2 (el propio número) y entre 1, y por tanto solo se puede obtener multiplicando 2 x 1. No hay números naturales más pequeños cuyo múltiplo sea igual a dos.
En cambio, el número 4 no es primo, ya que es divisible entre 4, entre 2 y entre 1, y se puede obtener multiplicando 2 × 2, además de 4 × 1.
Los números naturales que no son primos se denominan números compuestos, y todos ellos tienen más de dos divisores: el propio número, el 1 y al menos otro número natural.
Los primeros 25 números primos son todos inferiores a 100 y forman la sucesión numérica conocida como A000040 de la OESIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Existen infinitos números primos, algo que ya demostró Euclides 300 años a.C.. El número primo más grande conocido, hasta Enero de 2020, tiene casi 25 millones de dígitos.
El número 1 no se considera primo ni compuesto
Es muy importante tener claro que el número 1 no se considera un número primo, pues solo tiene un divisor: él mismo.
Tampoco se considera un número compuesto, pues no se puede descomponer en el producto de otros números naturales, solo como múltiple de él mismo:
1 × 1 = 1
Por los mismos motivos, el cero tampoco se considera un número primo ni compuesto.
El 2 es el único número primo par
El número 2 es un número par y es un número primo, pues solo tiene dos divisores. Por encima de dos, no existen ningún número par que también sea número primo, pues todos ellos son divisibles, al menos, entre ellos mismos, entre 2 y entre 1.
Dicho de otro modo, todos los números primos distintos de 2 son números impares.
Debido a esta característica, muchos matemáticos de la antigua Grecia definían los números primos como un subconjunto de los número impares y ni siquiera consideraban al número 2 como un número primo.
Definición de número compuesto y ejemplos
Todos los números naturales son divisibles, al menos, entre él mismo y el 1. Tal y como vimos antes, si un número natural solo tiene estos dos divisores, es un número primo. Pero si tiene algún otro divisor, entonces es un número compuesto.
Un número compuesto se define como un número natural que tiene más de dos divisores, por lo que se puede obtener como producto o múltiplo de dos números naturales más pequeños.
Por ejemplo, el número 15 es un número compuesto. Se puede dividir entre él mismo y entre 1, y también entre 3 y entre 5. Por tanto, tiene 4 divisores: 1, 3, 5 y 15. Además, se puede obtener como producto de 3 × 5.
Otro ejemplo sería el número 20, pues es divisible entre 20, entre 1, y también entre 2, 4, 5 y 10. Se puede obtener de los productos 2 × 10 y 5 × 4.
Diferencias más destacadas
Como resumen de las diferencias entre número primos y números compuestos, podemos citar los siguientes aspectos:
- Tanto números primos como números compuestos son números naturales.
- Todos los números primos y compuestos son mayores a 1, pues el número 1 no se considera ni primo ni compuesto. Tampoco el cero.
- Todos los números primos y compuestos son divisibles entre ellos mismos y entre 1. Los números compuestos, además, son divisibles por algún otro número natural.
- Un número primo tiene exactamente dos divisores: él propio número y el 1.
- Un número compuesto siempre tiene más de dos divisores, como mínimo 3: el propio número, el 1 y al menos otro número natural.
- Un número primo solo se puede expresar como el producto de él mismo multiplicado por 1.
- Un número compuesto se puede expresar como producto de él mismo por 1, y al menos como producto de otro número natural más pequeño.
- El número 2 es el único número primo que también es un número par. Todos los demás números primos son impares.
- Entre los números compuestos hay pares e impares.
- Hay infinitos números primos e infinitos números compuestos.
Cómo saber si un número es primo o compuesto
No existe una fórmula, o al menos no se conoce, con la que se pueda averiguar si un número es primo o compuesto, por lo que se recurre a diversas técnicas.
Una de las más utilizadas es una prueba de ensayo que consiste en comenzar a dividir el número n entre 2, 3, etc, hasta que alguna de las divisiones sea exacta o hasta que el cociente sea menor al divisor.
Si alguna división es exacta, entonces es un número compuesto, en caso contrario es un número primo.
En lugar de hacer todas las divisiones a partir de 2, se puede hacer solo entre los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, …). El resultado será el mismo.
Esta técnica es muy lenta y tediosa, y a medida que el número es más grande, más lento será determinar si un número es primo o compuesto.
Existen numerosos algoritmos mucho más rápidos, como el test de primalidad de Miller-Rabin, rápido pero puede dar errores, o el test de primalidad AKS, sin errores pero que sigue siendo demasiado lento.
Ejemplo: ¿115 es primo?
Comenzamos a dividir 115 entre 2, 3, ….
- 115/2 = 57,5
- 115/3 = 38,33
- 115/5 = 23 → División exacta.
Aquí paramos, pues la división entre 5 es una división exacta. Es decir, 115 es divisible entre 5, por lo que 115 es un número compuesto.
Ejemplo: ¿127 es primo?
- 127/2 = 63,5
- 127/3 = 42,33
- 127/5 = 25,4
- 127/7 = 18,14
- 127/11 = 11,54
- 127/13 = 9,76 → el cociente (9,76) es menor que el divisor (13)
Aquí paramos. Todas las divisiones son inexactas, por lo que 127 es un número primo.